Упр.32.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Произведение двух положительных чисел равно $$484$$. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые положительные числа. Тогда

$$xy=484,$$

значит, $$y=\dfrac{484}{x}.$$

Рассмотрим сумму этих чисел:

$$S(x)=x+y=x+\dfrac{484}{x}, \quad x>0.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=1-\dfrac{484}{x^2}=\dfrac{x^2-484}{x^2}.$$

Критические точки определяются из уравнения

$$x^2-484=0,$$

откуда

$$x=22 \quad \text{или} \quad x=-22.$$

Так как $$x>0,$$ берём $$x=22.$$ Тогда

$$y=\dfrac{484}{22}=22.$$

Следовательно, искомые числа равны $$22$$ и $$22$$.

Ответ: $$22$$ и $$22$$.