Упр.32.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=2\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$; б) $$y=-2\cos x,\quad \left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$; в) $$y=6\cos x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; г) $$y=-0{,}5\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=2\sin x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

Найдём производную:

$$y’=(2\sin x)’=2\cos x.$$

Стационарные точки:

$$2\cos x=0,\quad \cos x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ получаем точки $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \pi.$$

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}=2,$$

$$y(\pi)=2\sin\pi=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-2\cos x$$ на отрезке $$\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$y’=(-2\cos x)’=2\sin x.$$

Стационарные точки:

$$2\sin x=0,\quad \sin x=0,\quad x=\pi n.$$

На отрезке $$\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=-2\pi,\ -\pi.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-2\pi)=-2\cos(-2\pi)=-2,$$

$$y(-\pi)=-2\cos(-\pi)=2,$$

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=6\cos x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

Найдём производную:

$$y’=(6\cos x)’=-6\sin x.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};0\right)$$ имеем $$\sin x<0,$$ значит $$y’>0,$$ функция возрастает.

Тогда наименьшее значение достигается при $$x=-\frac{\pi}{2},$$ а наибольшее — при $$x=0.$$

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=6\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

$$y(0)=6\cos 0=6.$$

Следовательно, $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=6.$$

г) Рассмотрим функцию $$y=-0{,}5\sin x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$y’=(-0{,}5\sin x)’=-0{,}5\cos x.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\cos x>0,$$ значит $$y'<0,$$ функция убывает.

Тогда наибольшее значение достигается при $$x=-\frac{\pi}{2},$$ а наименьшее — при $$x=\frac{\pi}{2}.$$

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0{,}5,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\sin\frac{\pi}{2}=-0{,}5.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-0{,}5,\quad y_{\max}=0{,}5.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$; б) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=6$$; г) $$y_{\min}=-0{,}5,\ y_{\max}=0{,}5$$.