Упр.32.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

$$y=x^3-3x^2-9x+\sqrt{16-x^4}+\left|\sqrt{16-x^4}-5\right|$$

Рассмотрим функцию

$$y=x^3-3x^2-9x+\sqrt{16-x^4}+|\sqrt{16-x^4}-5|.$$

Так как $$x^4\ge 0,$$ то

$$16-x^4\le 16,$$

следовательно,

$$\sqrt{16-x^4}\le 4.$$

Тогда

$$\sqrt{16-x^4}-5\le -1<0,$$

значит, под модулем всегда отрицательное выражение и

$$|\sqrt{16-x^4}-5|=5-\sqrt{16-x^4}.$$

Тогда функция упрощается:

$$y=x^3-3x^2-9x+\sqrt{16-x^4}+5-\sqrt{16-x^4}=x^3-3x^2-9x+5.$$

Найдём область определения:

$$16-x^4\ge 0,$$

$$x^4\le 16,$$

$$-2\le x\le 2.$$

Исследуем функцию $$y=x^3-3x^2-9x+5$$ на отрезке $$[-2;2].$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$

На отрезке $$[-2;2]$$ критическая точка только одна: $$x=-1.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-2)=(-2)^3-3(-2)^2-9(-2)+5=-8-12+18+5=3,$$

$$y(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10,$$

$$y(2)=2^3-3\cdot 2^2-9\cdot 2+5=8-12-18+5=-17.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-17,\qquad y_{\max}=10.$$

Итак, область значений функции:

$$y\in[-17;10].$$

Ответ

$$[-17;10]$$