Упр.32.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+2}.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

Найдём производную:

$$y’=(x\sqrt{x+2})’=\sqrt{x+2}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} =\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} =\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$

Критическая точка внутри области определения:

$$3x+4=0,\quad x=-\frac43.$$

Так как при $$x>-2$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем. Тогда функция убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right).$$

Наименьшее значение достигается при $$x=-\frac43$$:

$$y\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2} =-\frac43\sqrt{\frac23} =-\frac{4\sqrt6}{9}.$$

Следовательно, область значений:

$$E(y)=\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right).$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{1-2x}.$$

Область определения: $$1-2x\ge 0,\quad x\le \frac12.$$

Найдём производную:

$$y’=(x\sqrt{1-2x})’=\sqrt{1-2x}+x\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} =\frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}} =\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}.$$

Критическая точка:

$$1-3x=0,\quad x=\frac13.$$

На промежутке $$\left(-\infty;\frac13\right)$$ производная положительна, а на $$\left(\frac13;\frac12\right)$$ отрицательна. Значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right]$$ и убывает на $$\left[\frac13;\frac12\right).$$

В точке максимума:

$$y\left(\frac13\right)=\frac13\sqrt{1-2\cdot \frac13} =\frac13\sqrt{\frac13} =\frac{\sqrt3}{9}.$$

При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty.$$ Поэтому область значений:

$$E(y)=\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right].$$

Ответ: а) $$\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right].$$