Упр.32.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=x^2-4x+5+|1-x|,\ [0;4]$$;
б) $$y=|x^3-1|-3x,\ [-1;3]$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x+5+|1-x|$$ на отрезке $$[0;4].$$

Разобьём отрезок по точке, где меняется знак выражения под модулем: $$1-x=0 \Rightarrow x=1.$$

1) При $$0\le x<1$$ имеем $$|1-x|=1-x,$$ тогда

$$y=x^2-4x+5+1-x=x^2-5x+6.$$

Производная:

$$y’=2x-5.$$

На отрезке $$[0;1]$$ критических точек нет, поэтому проверим концы:

$$y(0)=0^2-5\cdot 0+6=6,$$

$$y(1)=1^2-5\cdot 1+6=2.$$

2) При $$1\le x\le 4$$ имеем $$|1-x|=x-1,$$ тогда

$$y=x^2-4x+5+x-1=x^2-3x+4.$$

Производная:

$$y’=2x-3.$$

Критическая точка:

$$2x-3=0,\quad x=\frac{3}{2}.$$

Она принадлежит отрезку $$[1;4].$$ Найдём значения функции в точках $$x=1,\ \frac{3}{2},\ 4$$:

$$y(1)=1^2-3\cdot 1+4=2,$$

$$y\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot \frac{3}{2}+4=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4},$$

$$y(4)=4^2-3\cdot 4+4=16-12+4=8.$$

Сравнивая значения, получаем:

$$y_{\min}=\frac{7}{4},\qquad y_{\max}=8.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=|x^3-1|-3x$$ на отрезке $$[-1;3].$$

Точка смены знака под модулем определяется из уравнения

$$x^3-1=0 \Rightarrow x=1.$$

1) При $$-1\le x<1$$ имеем $$|x^3-1|=1-x^3,$$ тогда

$$y=1-x^3-3x.$$

Производная:

$$y’=-3x^2-3<0.$$

Значит, на этом промежутке функция убывает, и достаточно проверить конец отрезка и точку разбиения:

$$y(-1)=1-(-1)^3-3\cdot(-1)=1+1+3=5,$$

$$y(1)=1-1-3=-3.$$

2) При $$1\le x\le 3$$ имеем $$|x^3-1|=x^3-1,$$ тогда

$$y=x^3-1-3x=x^3-3x-1.$$

Производная:

$$y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$

На отрезке $$[1;3]$$ производная неотрицательна, поэтому функция возрастает. Проверим значения в точках $$x=1$$ и $$x=3$$:

$$y(1)=1-3-1=-3,$$

$$y(3)=27-9-1=17.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=17.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=\frac{7}{4},\ y_{\max}=8.$$

б) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=17.$$