Упр.32.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{1}{x}$$ на промежутке $$(-\infty;0).$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=-1.$$
Вычислим значение функции в этой точке:
$$y(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty,$$ поэтому наименьшего значения функция не принимает.
Ответ: $$y_{\min}$$ — нет; $$y_{\max}=-2.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{3x}{x^2+3}$$ на промежутке $$[0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3(x^2+3)-3x\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{3(3-x^2)}{(x^2+3)^2}.$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\sqrt{3}.$$
Вычислим значения функции в концах и в критической точке:
$$y(0)=0,$$
$$y(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Кроме того,
$$\lim_{x\to +\infty}\frac{3x}{x^2+3}=0.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ а наибольшее — $$\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ: $$y_{\min}=0;\quad y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
в) Рассмотрим функцию $$y=-2x-\frac{1}{2x}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём производную:
$$y’=-2+\frac{1}{2x^2}=\frac{1-4x^2}{2x^2}=\frac{(1-2x)(1+2x)}{2x^2}.$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\frac12.$$
Вычислим значение функции в этой точке:
$$y\left(\frac12\right)=-2\cdot \frac12-\frac{1}{2\cdot \frac12}=-1-1=-2.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty,$$ поэтому наименьшего значения функция не принимает.
Ответ: $$y_{\min}$$ — нет; $$y_{\max}=-2.$$
г) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{2x+6}-x$$ на промежутке $$[-3;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x+6}}-1=\frac{1-\sqrt{2x+6}}{\sqrt{2x+6}}.$$
Критическая точка:
$$1-\sqrt{2x+6}=0 \;\Rightarrow\; \sqrt{2x+6}=1 \;\Rightarrow\; 2x+6=1 \;\Rightarrow\; x=-\frac52.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-3)=\sqrt{2\cdot(-3)+6}-(-3)=3,$$
$$y\left(-\frac52\right)=\sqrt{2\cdot\left(-\frac52\right)+6}+\frac52=1+\frac52=\frac72.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty,$$ значит, наименьшего значения нет.
Ответ: $$y_{\min}$$ — нет; $$y_{\max}=\frac72.$$
