Упр.32.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область значений функции:

1. $$y=\operatorname{ctg}x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$;
2. $$y=2\sin x-x,\quad x\in[0;\pi]$$;
3. $$y=2\cos x+x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$;
4. $$y=\operatorname{tg}x-x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$.

Найдём область значений функции на каждом отрезке, используя производную и значения на концах отрезка.

а)

$$y=\ctg x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$

$$y’=-\frac{1}{\sin^2 x}+1=\frac{\sin^2 x-1}{\sin^2 x}\le 0$$

Значит, функция убывает на данном отрезке, поэтому

$$y_{\max}=y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=1+\frac{\pi}{4}$$

$$y_{\min}=y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\ctg\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=-1+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi-4}{4}$$

Ответ: $$y\in\left[\frac{3\pi-4}{4};\frac{\pi+4}{4}\right]$$

б)

$$y=2\sin x-x,\quad x\in[0;\pi]$$

$$y’=2\cos x-1$$

$$2\cos x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{3}$$

Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(0)=0$$

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$

$$y(\pi)=2\sin\pi-\pi=-\pi$$

Следовательно,

Ответ: $$y\in\left[-\pi;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$

в)

$$y=2\cos x+x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

$$y’=-2\sin x+1$$

$$-2\sin x+1=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{6}$$

Вычислим значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$$

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$$

Ответ: $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}\right]$$

г)

$$y=\tg x-x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$

$$y’=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\ge 0$$

Значит, функция возрастает на данном отрезке, поэтому

$$y_{\min}=y(0)=0$$

$$y_{\max}=y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$

Ответ: $$y\in\left[0;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$