Упр.32.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1$$ на отрезке: а) $$[-1;2]$$; б) $$[1;6]$$; в) $$[-2;3]$$; г) $$[-1;7]$$.
Найдём производную функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1.$$
$$y’ = 4x^3-24x^2+20x = 4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=1,\; x=5.$$
а) $$[-1;2]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках, попадающих в отрезок:
$$y(-1)=(-1)^4-8(-1)^3+10(-1)^2+1=20,$$
$$y(0)=1,$$
$$y(1)=1-8+10+1=4,$$
$$y(2)=2^4-8\cdot2^3+10\cdot2^2+1=16-64+40+1=-7.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-7,$$ $$y_{\max}=20.$$
б) $$[1;6]$$
Проверим точки $$x=1,\;5,\;6$$:
$$y(1)=4,$$
$$y(5)=5^4-8\cdot5^3+10\cdot5^2+1=625-1000+250+1=-124,$$
$$y(6)=6^4-8\cdot6^3+10\cdot6^2+1=1296-1728+360+1=-71.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-124,$$ $$y_{\max}=4.$$
в) $$[-2;3]$$
Проверим точки $$x=-2,\;0,\;1,\;3$$:
$$y(-2)=(-2)^4-8(-2)^3+10(-2)^2+1=121,$$
$$y(0)=1,$$
$$y(1)=4,$$
$$y(3)=3^4-8\cdot3^3+10\cdot3^2+1=81-216+90+1=-44.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-44,$$ $$y_{\max}=121.$$
г) $$[-1;7]$$
Проверим точки $$x=-1,\;0,\;1,\;5,\;7$$:
$$y(-1)=20,$$
$$y(0)=1,$$
$$y(1)=4,$$
$$y(5)=-124,$$
$$y(7)=7^4-8\cdot7^3+10\cdot7^2+1=2401-2744+490+1=148.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-124,$$ $$y_{\max}=148.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-7,\; y_{\max}=20$$; б) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=4$$; в) $$y_{\min}=-44,\; y_{\max}=121$$; г) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=148$$.
