Упр.32.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3-9x^2+15x-3$$ на отрезке: а) $$[0;2]$$; б) $$[3;6]$$; в) $$[-1;3]$$; г) $$[2;7]$$.
Найдём производную функции $$y=x^3-9x^2+15x-3.$$
$$y'(x)=3x^2-18x+15=3(x^2-6x+5)=3(x-1)(x-5).$$
Стационарные точки: $$x=1$$ и $$x=5.$$
а) $$[0;2]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке, которая принадлежит отрезку:
$$y(0)=-3,$$
$$y(1)=1-9+15-3=4,$$
$$y(2)=8-36+30-3=-1.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=4.$$
б) $$[3;6]$$
На отрезке лежит стационарная точка $$x=5.$$ Найдём значения функции в точках $$3, 5, 6$$:
$$y(3)=27-81+45-3=-12,$$
$$y(5)=125-225+75-3=-28,$$
$$y(6)=216-324+90-3=-21.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-28,$$ $$y_{\max}=-12.$$
в) $$[-1;3]$$
На отрезке лежит стационарная точка $$x=1.$$ Найдём значения функции в точках $$-1, 1, 3$$:
$$y(-1)=-1-9-15-3=-28,$$
$$y(1)=4,$$
$$y(3)=-12.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-28,$$ $$y_{\max}=4.$$
г) $$[2;7]$$
На отрезке лежит стационарная точка $$x=5.$$ Найдём значения функции в точках $$2, 5, 7$$:
$$y(2)=-1,$$
$$y(5)=-28,$$
$$y(7)=343-441+105-3=4.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-28,$$ $$y_{\max}=4.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=4$$; б) $$y_{\min}=-28,$$ $$y_{\max}=-12$$; в) $$y_{\min}=-28,$$ $$y_{\max}=4$$; г) $$y_{\min}=-28,$$ $$y_{\max}=4$$.
