Упр.32.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) $$y=3x-6,\ [-1;4]$$; б) $$y=-\frac{8}{x},\ \left[\frac{1}{4};8\right]$$; в) $$y=-0{,}5x+4,\ [-2;6]$$; г) $$y=\frac{3}{x},\ [0{,}3;2]$$.

Для линейных и дробных функций на отрезке достаточно сравнить значения на концах отрезка, учитывая монотонность функции.

а)

$$y=3x-6,\quad x\in[-1;4]$$

$$y'(x)=(3x-6)’=3>0$$

Значит, функция возрастает на всём отрезке. Тогда

$$y(-1)=3\cdot(-1)-6=-3-6=-9$$

$$y(4)=3\cdot4-6=12-6=6$$

Ответ: $$y_{\min}=-9,\quad y_{\max}=6.$$

б)

$$y=-\frac{8}{x},\quad x\in\left[\frac14;8\right]$$

На данном отрезке $$x\neq 0$$, значит, функция определена и непрерывна.

$$y'(x)=\left(-\frac{8}{x}\right)’=\frac{8}{x^2}>0$$

Функция возрастает, поэтому

$$y\left(\frac14\right)=-\frac{8}{1/4}=-32$$

$$y(8)=-\frac{8}{8}=-1$$

Ответ: $$y_{\min}=-32,\quad y_{\max}=-1.$$

в)

$$y=-0{,}5x+4,\quad x\in[-2;6]$$

$$y'(x)=(-0{,}5x+4)’=-0{,}5<0$$

Функция убывает на всём отрезке. Тогда

$$y(-2)=-0{,}5\cdot(-2)+4=1+4=5$$

$$y(6)=-0{,}5\cdot6+4=-3+4=1$$

Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=5.$$

г)

$$y=\frac{3}{x},\quad x\in[0{,}3;2]$$

На данном отрезке $$x\neq 0$$, значит, функция определена и непрерывна.

$$y'(x)=\left(\frac{3}{x}\right)’=-\frac{3}{x^2}<0$$

Функция убывает, поэтому

$$y(0{,}3)=\frac{3}{0{,}3}=10$$

$$y(2)=\frac{3}{2}=1{,}5$$

Ответ: $$y_{\min}=1{,}5,\quad y_{\max}=10.$$