Упр.31.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=\frac{x+2}{x-3}$$
$$x-3\ne 0,\quad x\ne 3,$$
$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
Вертикальная асимптота: $$x=3.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x+2}{x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{3}{x}}=1,$$
значит, $$y=1.$$
$$y’=\frac{(x+2)'(x-3)-(x+2)(x-3)’}{(x-3)^2}=\frac{(x-3)-(x+2)}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}<0.$$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
Возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$-2$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$8$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$-4$$ | $$6$$ | $$2$$ |
По этим точкам строим гиперболу с асимптотами $$x=3$$ и $$y=1.$$
б) $$y=\frac{3x-4}{x-2}$$
$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2,$$
$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
Вертикальная асимптота: $$x=2.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x-4}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{3-\frac{4}{x}}{1-\frac{2}{x}}=3,$$
значит, $$y=3.$$
$$y’=\frac{(3x-4)'(x-2)-(3x-4)(x-2)’}{(x-2)^2}=\frac{3(x-2)-(3x-4)}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}<0.$$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
Возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$2$$ | $$1$$ | $$5$$ | $$4$$ |
По этим точкам строим график с асимптотами $$x=2$$ и $$y=3.$$
в) $$y=\frac{x-3}{x+1}$$
$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1,$$
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Вертикальная асимптота: $$x=-1.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=1,$$
значит, $$y=1.$$
$$y’=\frac{(x-3)'(x+1)-(x-3)(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)-(x-3)}{(x+1)^2}=\frac{4}{(x+1)^2}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$-5$$ | $$-2$$ | $$0$$ | $$3$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$2$$ | $$5$$ | $$-3$$ | $$0$$ |
По этим точкам строим график с асимптотами $$x=-1$$ и $$y=1.$$
г) $$y=\frac{2x+1}{x+2}$$
$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2,$$
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Вертикальная асимптота: $$x=-2.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2,$$
значит, $$y=2.$$
$$y’=\frac{(2x+1)'(x+2)-(2x+1)(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2}=\frac{3}{(x+2)^2}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$-5$$ | $$-3$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$3$$ | $$5$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
По этим точкам строим график с асимптотами $$x=-2$$ и $$y=2.$$
