Упр.31.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=(x-1)^2(x+2)$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = 2(x-1)(x+2) + (x-1)^2 \\\\ y’ = (x-1)\bigl(2(x+2)+(x-1)\bigr) \\\\ y’ = (x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=1.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty), \\\\ y'<0 \text{ при } x\in(-1;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1].$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=(-2)^2\cdot 1=4,\qquad y(1)=0.$$
Следовательно, точка максимума $$(-1;4),$$ точка минимума $$(1;0).$$
Для построения графика удобно отметить точки:
$$(-2;0),\ (0;2),\ (1;0),\ (2;4).$$
б) $$y=\frac{256}{9}x(x-1)^3$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{256}{9}\bigl((x-1)^3+3x(x-1)^2\bigr) =\frac{256}{9}(x-1)^2(4x-1).$$
Критические точки: $$x=\frac14,\; x=1.$$
Так как $$\frac{256}{9}(x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$4x-1.$$
Получаем:
$$y'<0 \text{ при } x<\frac14,\qquad y’>0 \text{ при } x>\frac14.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;\frac14],$$ возрастает на $$[\frac14;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ производная обращается в нуль, но знак не меняется, поэтому экстремума там нет.
Точка минимума:
$$y\!\left(\frac14\right)=\frac{256}{9}\cdot\frac14\left(-\frac34\right)^3=-3.$$
Следовательно, минимум в точке $$\left(\frac14;-3\right).$$
Для построения графика удобно отметить точки:
$$\left(-1;\frac{2048}{9}\right),\ (0;0),\ (1;0),\ \left(2;\frac{512}{9}\right).$$
в) $$y=(x+2)^2(x-3)$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=2(x+2)(x-3)+(x+2)^2 =(x+2)(3x-4).$$
Критические точки: $$x=-2,\; x=\frac43.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac43;+\infty\right), \\\\ y'<0 \text{ при } x\in\left(-2;\frac43\right).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[\frac43;+\infty),$$ убывает на $$[-2;\frac43].$$
Точки экстремума:
$$y(-2)=0,\qquad y\!\left(\frac43\right)=\left(\frac{10}{3}\right)^2\left(-\frac53\right)=-\frac{500}{27}.$$
Следовательно, точка максимума $$(-2;0),$$ точка минимума $$\left(\frac43;-\frac{500}{27}\right).$$
Для построения графика удобно отметить точки:
$$(-3;-6),\ (0;-12),\ (3;0).$$
г) $$y=x^3(2-x)$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2(2-x)-x^3=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=\frac32.$$
Так как $$2x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$3-2x.$$
Получаем:
$$y’>0 \text{ при } x<\frac32,\qquad y'<0 \text{ при } x>\frac32.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\frac32],$$ убывает на $$[\frac32;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ экстремума нет, так как знак производной не меняется.
Точка максимума:
$$y\!\left(\frac32\right)=\left(\frac32\right)^3\left(2-\frac32\right)=\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16}.$$
Следовательно, максимум в точке $$\left(\frac32;\frac{27}{16}\right).$$
Для построения графика удобно отметить точки:
$$(-2;-32),\ (0;0),\ (2;0),\ (3;-27).$$
Ответ: для всех четырёх функций найдены области определения, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, указанные выше.
