Упр.31.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Постройте график функции:
а) $$y=-x^4+5x^2-4$$;
б) $$y=x^5-5x$$;
в) $$y=2x^4-9x^2+7$$;
г) $$y=5x^3-3x^5$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=-x^4+5x^2-4.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция чётная, так как $$y(-x)=-(-x)^4+5(-x)^2-4=-x^4+5x^2-4=y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=-4x^3+10x=2x(5-2x^2).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=\pm \sqrt{\frac52}.$$
Знаки производной дают:
- функция возрастает при $$x\in\left(-\infty;-\sqrt{\frac52}\right]\cup\left[0;\sqrt{\frac52}\right];$$
- функция убывает при $$x\in\left[-\sqrt{\frac52};0\right]\cup\left[\sqrt{\frac52};+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$y(0)=-4,$$
$$y\!\left(\pm\sqrt{\frac52}\right)=-\left(\frac52\right)^2+5\cdot\frac52-4=\frac94.$$
Для построения отметим точки: $$(-2,0),\;(-1,0),\;(0,-4),\;(1,0),\;(2,0).$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x^5-5x.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция нечётная, так как $$y(-x)=(-x)^5-5(-x)=-x^5+5x=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=5x^4-5=5(x^2-1)(x^2+1).$$
Критические точки: $$x=\pm1.$$
Знаки производной:
- функция возрастает при $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty);$$
- функция убывает при $$x\in[-1;1].$$
Экстремумы:
$$y(-1)=4,\qquad y(1)=-4.$$
Для построения отметим точки: $$(-2,-22),\;(0,0),\;(2,22).$$
в) Рассмотрим функцию $$y=2x^4-9x^2+7.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция чётная, так как $$y(-x)=2(-x)^4-9(-x)^2+7=2x^4-9x^2+7=y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=8x^3-18x=2x(4x^2-9)=2x(2x-3)(2x+3).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=\pm\frac32.$$
Знаки производной:
- функция возрастает при $$x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup\left[0;\frac32\right];$$
- функция убывает при $$x\in\left[-\frac32;0\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$y(0)=7,$$
$$y\!\left(\pm\frac32\right)=2\cdot\left(\frac32\right)^4-9\cdot\left(\frac32\right)^2+7=-\frac{25}{8}.$$
Для построения отметим точки: $$(-2,3),\;(-1,0),\;(0,7),\;(1,0),\;(2,3).$$
г) Рассмотрим функцию $$y=5x^3-3x^5.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция нечётная, так как $$y(-x)=5(-x)^3-3(-x)^5=-5x^3+3x^5=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
Знаки производной:
- функция убывает при $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty);$$
- функция возрастает при $$x\in[-1;1].$$
Экстремумы:
$$y(-1)=-2,\qquad y(1)=2.$$
Точка $$x=0$$ — стационарная, но не точка экстремума.
Для построения отметим точки: $$(-2,56),\;(0,0),\;(2,-56).$$
Ответ
Графики всех функций построены по найденным опорным точкам, промежуткам возрастания и убывания, а также по координатам точек экстремума.
