Упр.31.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=2x^3+x^2-8x-7$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=2(-x)^3+(-x)^2-8(-x)-7=-2x^3+x^2+8x-7.$$
Найдём производную:
$$y’=(2x^3+x^2-8x-7)’=6x^2+2x-8=2(3x^2+x-4)=2(3x-4)(x+1).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-1,\; x=\frac43.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;\frac43) & \frac43 & (\frac43;+\infty)\\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac43;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-1;\frac43\right].$$
Вычислим значения в точках экстремума:
$$y(-1)=2(-1)^3+(-1)^2-8(-1)-7=2,$$
$$y\left(\frac43\right)=2\left(\frac43\right)^3+\left(\frac43\right)^2-8\cdot\frac43-7=-\frac{257}{27}.$$
Следовательно, точка максимума: $$(-1;2),$$ точка минимума: $$\left(\frac43;-\frac{257}{27}\right).$$
Для построения графика удобно взять несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 2\\ \hline y & 2 & -7 & 1 \end{array}$$
График — кубическая кривая, проходящая через найденные точки и имеющая максимум в $$(-1;2)$$ и минимум в $$\left(\frac43;-\frac{257}{27}\right).$$
Ответ
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac43;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-1;\frac43\right].$$ Точка максимума $$(-1;2),$$ точка минимума $$\left(\frac43;-\frac{257}{27}\right).$$
б) $$y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=-\frac{(-x)^3}{3}+(-x)^2+3(-x)-\frac{11}{3}=\frac{x^3}{3}+x^2-3x-\frac{11}{3}.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}\right)’=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-1,\; x=3.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;3) & 3 & (3;+\infty)\\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;3].$$
Вычислим значения в точках экстремума:
$$y(-1)=-\frac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3(-1)-\frac{11}{3}=-\frac{16}{3},$$
$$y(3)=-\frac{27}{3}+9+9-\frac{11}{3}=\frac{16}{3}.$$
Следовательно, точка минимума: $$(-1;-\frac{16}{3}),$$ точка максимума: $$(3;\frac{16}{3}).$$
Для построения графика можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -3 & 1 & 5\\ \hline y & 5 & 0 & -5 \end{array}$$
Ответ
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;3].$$ Точка минимума $$(-1;-\frac{16}{3}),$$ точка максимума $$(3;\frac{16}{3}).$$
в) $$y=x^3+x^2-x-1$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=(-x)^3+(-x)^2-(-x)-1=-x^3+x^2+x-1.$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3+x^2-x-1)’=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-1,\; x=\frac13.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;\frac13) & \frac13 & (\frac13;+\infty)\\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-1;\frac13\right].$$
Вычислим значения в точках экстремума:
$$y(-1)=(-1)^3+(-1)^2-(-1)-1=0,$$
$$y\left(\frac13\right)=\left(\frac13\right)^3+\left(\frac13\right)^2-\frac13-1=-\frac{32}{27}.$$
Следовательно, точка максимума: $$(-1;0),$$ точка минимума: $$\left(\frac13;-\frac{32}{27}\right).$$
Для построения графика можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & 0 & 1\\ \hline y & -3 & -1 & 0 \end{array}$$
Ответ
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-1;\frac13\right].$$ Точка максимума $$(-1;0),$$ точка минимума $$\left(\frac13;-\frac{32}{27}\right).$$
г) $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac53$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=\frac{(-x)^3}{3}+(-x)^2-3(-x)+\frac53=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x+\frac53.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac53\right)’=x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-3,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-3) & -3 & (-3;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-3;1].$$
Вычислим значения в точках экстремума:
$$y(-3)=\frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3(-3)+\frac53=\frac{32}{3},$$
$$y(1)=\frac13+1-3+\frac53=0.$$
Следовательно, точка максимума: $$(-3;\frac{32}{3}),$$ точка минимума: $$(1;0).$$
Для построения графика можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -5 & -1 & 3\\ \hline y & 0 & \frac{16}{3} & \frac{32}{3} \end{array}$$
Ответ
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$ Функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-3;1].$$ Точка максимума $$(-3;\frac{32}{3}),$$ точка минимума $$(1;0).$$
