Упр.31.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=3x^2-x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=3(-x)^2-(-x)^3=3x^2+x^3,$$
и это не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$.
Найдём производную:
$$y’=(3x^2-x^3)’=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;2) & 2 & (2;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, возрастает на $$[0;2]$$.
В точке $$x=0$$ — локальный минимум:
$$y_{\min}=3\cdot 0^2-0^3=0.$$
В точке $$x=2$$ — локальный максимум:
$$y_{\max}=3\cdot 2^2-2^3=12-8=4.$$
Для построения графика возьмём несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 4 & 2 & 0 \end{array}$$
График проходит через точки $$(-1;4)$$, $$(0;0)$$, $$(1;2)$$, $$(2;4)$$, $$(3;0)$$.
б) $$y=-9x+x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=-9(-x)+(-x)^3=9x-x^3=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=(-9x+x^3)’=-9+3x^2=3(x^2-3)=3(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).$$
Критические точки: $$x=\pm\sqrt3$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-\sqrt3) & -\sqrt3 & (-\sqrt3;\sqrt3) & \sqrt3 & (\sqrt3;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt3]$$ и $$[\sqrt3;+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt3;\sqrt3]$$.
В точке $$x=-\sqrt3$$ — локальный максимум:
$$y_{\max}=-9(-\sqrt3)+(-\sqrt3)^3=9\sqrt3-3\sqrt3=6\sqrt3.$$
В точке $$x=\sqrt3$$ — локальный минимум:
$$y_{\min}=-9\sqrt3+(\sqrt3)^3=-9\sqrt3+3\sqrt3=-6\sqrt3.$$
Для построения графика возьмём точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 3 \\ \hline y & 0 & -8 & 0 \end{array}$$
в) $$y=x^3+3x^2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=(-x)^3+3(-x)^2=-x^3+3x^2.$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3+3x^2)’=3x^2+6x=3x(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;0) & 0 & (0;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$.
В точке $$x=-2$$ — локальный максимум:
$$y_{\max}=(-2)^3+3(-2)^2=-8+12=4.$$
В точке $$x=0$$ — локальный минимум:
$$y_{\min}=0^3+3\cdot 0^2=0.$$
Для построения графика возьмём точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -3 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 0 & 4 \end{array}$$
г) $$y=3x-x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=3(-x)-(-x)^3=-3x+x^3=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=(3x-x^3)’=3-3x^2=-3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=\pm1$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1]$$.
В точке $$x=-1$$ — локальный минимум:
$$y_{\min}=3(-1)-(-1)^3=-3+1=-2.$$
В точке $$x=1$$ — локальный максимум:
$$y_{\max}=3\cdot 1-1^3=2.$$
Для построения графика возьмём точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & -2 & -18 \end{array}$$
