Упр.31.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию и постройте её график:

• а) $$y=3x^2-4x+5$$;
• б) $$y=3+2x-x^2$$;
• в) $$y=7-x-2x^2$$;
• г) $$y=5x^2-15x-4$$.

а) $$y=3x^2-4x+5$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=3(-x)^2-4(-x)+5=3x^2+4x+5.$$

Найдём производную:

$$y’=(3x^2-4x+5)’=6x-4.$$

Критическая точка:

$$6x-4=0,\quad x=\frac23.$$

Так как $$y'<0$$ при $$x<\frac23$$ и $$y’>0$$ при $$x>\frac23$$, функция убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и возрастает на $$[\frac23;+\infty).$$

Минимум функции:

$$y_{\min}=3\left(\frac23\right)^2-4\cdot\frac23+5=\frac{11}{3}.$$

Точка минимума: $$\left(\frac23;\frac{11}{3}\right).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола, ветви направлены вверх.

б) $$y=3+2x-x^2$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=3-2x-x^2.$$

Найдём производную:

$$y’=(3+2x-x^2)’=2-2x.$$

Критическая точка:

$$2-2x=0,\quad x=1.$$

Так как $$y’>0$$ при $$x<1$$ и $$y'<0$$ при $$x>1$$, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$

Максимум функции:

$$y_{\max}=3+2\cdot1-1^2=4.$$

Точка максимума: $$\left(1;4\right).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола, ветви направлены вниз.

в) $$y=7-x-2x^2$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=7+x-2x^2.$$

Найдём производную:

$$y’=(7-x-2x^2)’=-1-4x.$$

Критическая точка:

$$-1-4x=0,\quad x=-\frac14.$$

Так как $$y’>0$$ при $$x<-\frac14$$ и $$y'<0$$ при $$x>-\frac14$$, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14]$$ и убывает на $$[-\frac14;+\infty).$$

Максимум функции:

$$y_{\max}=7-\left(-\frac14\right)-2\left(-\frac14\right)^2=7+\frac14-\frac18=\frac{57}{8}.$$

Точка максимума: $$\left(-\frac14;\frac{57}{8}\right).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола, ветви направлены вниз.

г) $$y=5x^2-15x-4$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=5(-x)^2-15(-x)-4=5x^2+15x-4.$$

Найдём производную:

$$y’=(5x^2-15x-4)’=10x-15.$$

Критическая точка:

$$10x-15=0,\quad x=\frac32.$$

Так как $$y'<0$$ при $$x<\frac32$$ и $$y’>0$$ при $$x>\frac32$$, функция убывает на $$(-\infty;\frac32]$$ и возрастает на $$[\frac32;+\infty).$$

Минимум функции:

$$y_{\min}=5\left(\frac32\right)^2-15\cdot\frac32-4=\frac{45}{4}-\frac{45}{2}-4=-\frac{61}{4}.$$

Точка минимума: $$\left(\frac32;-\frac{61}{4}\right).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола, ветви направлены вверх.

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ y_{\min}=\frac{11}{3},\ \left(\frac23;\frac{11}{3}\right),\ y\downarrow(-\infty;\frac23],\ y\uparrow[\frac23;+\infty).$$

б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ y_{\max}=4,\ (1;4),\ y\uparrow(-\infty;1],\ y\downarrow[1;+\infty).$$

в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ y_{\max}=\frac{57}{8},\ \left(-\frac14;\frac{57}{8}\right),\ y\uparrow(-\infty;-\frac14],\ y\downarrow[-\frac14;+\infty).$$

г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ y_{\min}=-\frac{61}{4},\ \left(\frac32;-\frac{61}{4}\right),\ y\downarrow(-\infty;\frac32],\ y\uparrow[\frac32;+\infty).$$