Упр.31.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите графически уравнение:

1. $$\sqrt[3]{x+1}=-x^3+3x^2+6$$;
2. $$x^3-3x=(x+1)^6+2$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=3\sqrt{x+1}$$ и $$g(x)=-x^3+3x^2+6.$$

Область определения первой функции: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

Функция $$f(x)=3\sqrt{x+1}$$ возрастает на всей области определения. Для построения удобно взять несколько точек:

Для функции $$g(x)=-x^3+3x^2+6$$ область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=-3x^2+6x=3x(2-x).$$

Отсюда функция возрастает при $$0\le x\le 2.$$ Для построения можно отметить точки:

Графики функций пересекаются в точке $$\left(3;6\right)$$, значит, решение уравнения:

$$x=3.$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=x^3-3x$$ и $$g(x)=(x+1)^6+2.$$

Область определения обеих функций: $$x\in \mathbb{R}.$$

Для функции $$f(x)=x^3-3x$$:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Функция возрастает при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$ Для построения отметим точки:

Для функции $$g(x)=(x+1)^6+2$$:

$$g'(x)=6(x+1)^5.$$

Функция возрастает при $$x\ge -1.$$ Для построения отметим точки:

Графики пересекаются в точке $$\left(-1;2\right)$$, значит, решение уравнения:

$$x=-1.$$

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=-1$$.