Упр.31.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3\cos\frac{\pi x}{2}+5\sin\frac{\pi x}{2}+18x=43-x^5-22x^3$$;
   б) $$\sin\frac{\pi x}{2}-2\cos\pi x-8x=x^5-50$$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения и исследуем их на монотонность.

а)

$$3\cos \frac{\pi x}{2}+5\sin \frac{\pi x}{2}+18x=46-x^5-22x^3$$

Пусть

$$f(x)=3\cos \frac{\pi x}{2}+5\sin \frac{\pi x}{2}+18x,$$

$$g(x)=46-x^5-22x^3.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=3\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi x}{2}\right)+5\cdot\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+18$$

$$f'(x)=\frac{\pi}{2}\left(5\cos \frac{\pi x}{2}-3\sin \frac{\pi x}{2}\right)+18.$$

Так как $$\left|5\cos \frac{\pi x}{2}-3\sin \frac{\pi x}{2}\right|\le \sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34},$$ то

$$f'(x)\ge 18-\frac{\pi}{2}\sqrt{34}>0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Для второй функции:

$$g'(x)=-5x^4-66x^2\le 0.$$

Следовательно, $$g(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=1$$:

$$f(1)=3\cos \frac{\pi}{2}+5\sin \frac{\pi}{2}+18=0+5+18=23,$$

$$g(1)=46-1-22=23.$$

Значит, $$x=1$$ — решение уравнения.

б)

$$\sin \frac{\pi x}{2}-2\cos \pi x-8x=x^5-50$$

Пусть

$$f(x)=\sin \frac{\pi x}{2}-2\cos \pi x-8x,$$

$$g(x)=x^5-50.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+2\pi \sin \pi x-8.$$

Оценим производную:

$$\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi x}{2}\le \frac{\pi}{2}, \qquad 2\pi \sin \pi x\le 2\pi,$$

поэтому

$$f'(x)\le \frac{\pi}{2}+2\pi-8<0.$$

Следовательно, $$f(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

Для второй функции:

$$g'(x)=5x^4\ge 0,$$

значит, $$g(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Проверим $$x=2$$:

$$f(2)=\sin \pi-2\cos 2\pi-16=0-2\cdot 1-16=-18,$$

$$g(2)=2^5-50=32-50=-18.$$

Следовательно, $$x=2$$ — решение уравнения.

Ответ: а) $$1$$; б) $$2$$.