Упр.31.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sin 5x-2\cos x-8x=x^5-2$$; б) $$4\cos 3x+\frac{5\sin x}{2}+15x=4-x^3$$.
а) Рассмотрим функции
$$f(x)=\sin 5x-2\cos x-8x,$$
$$g(x)=x^5-2.$$
Найдём их производные:
$$f'(x)=5\cos 5x+2\sin x-8,$$
$$g'(x)=5x^4.$$
Так как $$\cos 5x\le 1$$ и $$\sin x\le 1,$$ то
$$f'(x)\le 5\cdot 1+2\cdot 1-8=-1<0,$$
значит, функция $$f(x)$$ убывает на всей числовой прямой.
Функция $$g(x)=x^5-2$$ возрастает на всей числовой прямой, так как
$$g'(x)=5x^4\ge 0.$$
Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Проверим $$x=0$$:
$$\sin 0-2\cos 0-8\cdot 0=0^5-2,$$
$$0-2-0=-2.$$
Равенство верно, значит, $$x=0$$ — корень уравнения.
б) Рассмотрим функции
$$f(x)=4\cos 3x+5\sin \frac{x}{2}+15x,$$
$$g(x)=4-x^3.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=-12\sin 3x+\frac{5}{2}\cos \frac{x}{2}+15,$$
$$g'(x)=-3x^2\le 0.$$
Так как $$\sin 3x\le 1$$ и $$\cos \frac{x}{2}\le 1,$$ то
$$f'(x)\ge -12\cdot 1+\frac{5}{2}\cdot(-1)+15=\frac12>0,$$
значит, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.
Функция $$g(x)$$ убывает на всей числовой прямой. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:
$$4\cos 0+5\sin 0+15\cdot 0=4-0^3,$$
$$4=4.$$
Значит, $$x=0$$ — корень уравнения.
Ответ
а) $$x=0$$; б) $$x=0$$.
