Упр.31.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение с помощью исследования функций на монотонность: а) $$x^3+5=15-x$$; б) $$x^5+3x^3+7x-11=0$$; в) $$2x^5+3x^3=17-12x$$; г) $$x^5+4x^3+8x-13=0$$.

Рассмотрим каждое уравнение как равенство двух функций. Одна из них возрастает, другая убывает, значит, точка пересечения может быть только одна.

1. $$x^3+5=15-x$$

   Пусть $$f(x)=x^3+5,$$ $$g(x)=15-x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=3x^2\ge 0,$$ $$g'(x)=-1<0.$$

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$f(2)=2^3+5=8+5=13,$$

   $$g(2)=15-2=13.$$

   Следовательно, $$x=2$$ — решение.

2. $$x^5+3x^3+7x-11=0$$

   Перепишем:

   $$x^5+3x^3=11-7x.$$

   Пусть $$f(x)=x^5+3x^3,$$ $$g(x)=11-7x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=5x^4+9x^2\ge 0,$$ $$g'(x)=-7<0.$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$f(1)=1^5+3\cdot 1^3=1+3=4,$$

   $$g(1)=11-7\cdot 1=4.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — решение.

3. $$2x^5+3x^3=17-12x$$

   Пусть $$f(x)=2x^5+3x^3,$$ $$g(x)=17-12x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=10x^4+9x^2\ge 0,$$ $$g'(x)=-12<0.$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$f(1)=2\cdot 1^5+3\cdot 1^3=2+3=5,$$

   $$g(1)=17-12\cdot 1=5.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — решение.

4. $$x^5+4x^3+8x-13=0$$

   Перепишем:

   $$x^5+4x^3=13-8x.$$

   Пусть $$f(x)=x^5+4x^3,$$ $$g(x)=13-8x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=5x^4+12x^2\ge 0,$$ $$g'(x)=-8<0.$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$f(1)=1^5+4\cdot 1^3=1+4=5,$$

   $$g(1)=13-8\cdot 1=5.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — решение.

Ответ: а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.