Упр.31.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$:

а) уравнение $$x^3-3x=a$$ имеет один корень;

б) уравнение $$3x-x^3=a$$ имеет два корня?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x.$$

Она определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и является нечётной, так как

$$f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-f(x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$

Знак производной:

при $$x<-1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ функция возрастает;
при $$-1<x<1$$ имеем $$f'(x)<0,$$ функция убывает;
при $$x>1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ функция возрастает.

Следовательно, в точке $$x=-1$$ достигается максимум:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2,$$

а в точке $$x=1$$ достигается минимум:

$$f(1)=1^3-3\cdot1=1-3=-2.$$

Значит, горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции $$y=x^3-3x$$:

в одной точке, если $$a<-2$$ или $$a>2$$;
в двух точках, если $$a=-2$$ или $$a=2.$$

Для уравнения $$3x-x^3=a$$ рассмотрим функцию $$g(x)=3x-x^3=-f(x).$$ Её экстремумы меняются местами: максимум равен $$2,$$ минимум равен $$-2.$$ Поэтому горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график $$y=3x-x^3$$ в двух точках только при $$a=\pm2.$$