Упр.31.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции $$y=-x^4+2x^2+8$$.

б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$-x^4+2x^2+8=a$$ не имеет корней?

Подробный ответ

Функция $$y=-x^4+2x^2+8$$ определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и является чётной, так как

$$y(-x)=-(-x)^4+2(-x)^2+8=-x^4+2x^2+8=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)=-4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$ и убывает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty).$$

Вычислим значения в точках экстремума:

$$y(0)=8,$$

$$y(\pm1)=-1+2+8=9.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$9$$, а множество значений:

$$y\in(-\infty;9].$$

График функции — симметричная относительно оси $$Oy$$ кривая с вершинами в точках $$(-1;9)$$ и $$(1;9)$$ и минимумом в точке $$(0;8).$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$-x^4+2x^2+8=a.$$

Оно не имеет корней тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=a$$ не пересекает график функции. Это происходит при значениях $$a$$, больших наибольшего значения функции:

$$a>9.$$