Упр.31.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции $$y=x^4-2x^2+3$$.

б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4-2x^2+3=a$$ имеет три корня?

Рассмотрим функцию $$y=x^4-2x^2+3.$$

а) Построим график функции

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+3=x^4-2x^2+3=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

Значения функции в точках экстремума:

$$y(-1)=(-1)^4-2\cdot(-1)^2+3=1-2+3=2,$$

$$y(0)=0^4-2\cdot0^2+3=3,$$

$$y(1)=1^4-2\cdot1^2+3=1-2+3=2.$$

Следовательно, график симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет точки минимума $$(-1;2)$$ и $$(1;2)$$, точку максимума $$(0;3)$$. По этим точкам строим график функции.

б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение имеет три корня

Рассмотрим пересечение графика функции $$y=x^4-2x^2+3$$ с прямой $$y=a.$$

Три точки пересечения будут только тогда, когда прямая проходит через точку локального максимума и не проходит через точки минимума. Это происходит при

$$a=3.$$

Проверим:

$$x^4-2x^2+3=3$$

$$x^4-2x^2=0$$

$$x^2(x^2-2)=0.$$

Отсюда

$$x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}.$$

Получаем три корня.

Ответ

а) График функции проходит через точки $$(-1;2)$$, $$(0;3)$$, $$(1;2)$$ и симметричен относительно оси $$Oy$$.
б) $$a=3.$$