Упр.31.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=\frac{2x+1}{x^2+2}$$; б) $$y=\frac{x-2}{x^2+5}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{2x+1}{x^2+2}.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ так как $$x^2+2>0$$ при любом $$x.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(2x+1)'(x^2+2)-(2x+1)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2} =\frac{2(x^2+2)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} =-\frac{2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}.$$

Так как знаменатель всегда положителен, знак $$y’$$ определяется выражением $$-(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=1.$$

Тогда:

• при $$x\in(-\infty;-2)$$ функция убывает;
• при $$x\in(-2;1)$$ функция возрастает;
• при $$x\in(1;+\infty)$$ функция убывает.

Следовательно, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=1$$ — максимум:

$$y(-2)=\frac{2\cdot(-2)+1}{(-2)^2+2}=\frac{-4+1}{6}=-\frac12, \qquad y(1)=\frac{2\cdot1+1}{1^2+2}=\frac{3}{3}=1.$$

Горизонтальная асимптота: $$y=0,$$ так как

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^2+2}=0.$$

Для построения графика отметим, например, точки:

$$y(0)=\frac12,\qquad y(4)=\frac{9}{18}=\frac12.$$

Итак, график проходит через точки $$(-2;-\tfrac12),\ (0;\tfrac12),\ (1;1),\ (4;\tfrac12)$$ и имеет асимптоту $$y=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x-2}{x^2+5}.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ так как $$x^2+5>0$$ при любом $$x.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x-2)'(x^2+5)-(x-2)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2} =\frac{x^2+5-2x(x-2)}{(x^2+5)^2} =\frac{-x^2+4x+5}{(x^2+5)^2} =-\frac{(x+1)(x-5)}{(x^2+5)^2}.$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=5.$$

Знак производной:

• при $$x\in(-\infty;-1)$$ функция убывает;
• при $$x\in(-1;5)$$ функция возрастает;
• при $$x\in(5;+\infty)$$ функция убывает.

Следовательно, в точке $$x=-1$$ — минимум, а в точке $$x=5$$ — максимум:

$$y(-1)=\frac{-1-2}{(-1)^2+5}=-\frac{3}{6}=-\frac12, \qquad y(5)=\frac{5-2}{5^2+5}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}.$$

Горизонтальная асимптота: $$y=0,$$ так как

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{x^2+5}=0.$$

Для построения графика отметим точки:

$$y(0)=-\frac25,\qquad y(2)=0.$$

Итак, график проходит через точки $$(-1;-\tfrac12),\ (0;-\tfrac25),\ (2;0),\ (5;\tfrac{1}{10})$$ и имеет асимптоту $$y=0.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ y=0$$ — горизонтальная асимптота, минимум $$(-2;-\tfrac12),$$ максимум $$(1;1).$$

б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ y=0$$ — горизонтальная асимптота, минимум $$(-1;-\tfrac12),$$ максимум $$(5;\tfrac{1}{10}).$$