Упр.31.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x^2+1}.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{1}{x^2+1}\right)’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$

Тогда

$$y’>0 \text{ при } x<0,\qquad y'<0 \text{ при } x>0.$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ достигается максимум:

$$y_{\max}=y(0)=\frac{1}{0^2+1}=1.$$

Горизонтальная асимптота:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2+1}=0,\qquad y=0.$$

Для построения можно взять точки:

$$x=1,\ y=\frac12;\qquad x=2,\ y=\frac15.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и стремится к оси $$Ox$$ при $$x\to\pm\infty.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{2}{x^2+4}.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=-\frac{2}{(-x)^2+4}=-\frac{2}{x^2+4}=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(-\frac{2}{x^2+4}\right)’=\frac{4x}{(x^2+4)^2}.$$

Тогда

$$y'<0 \text{ при } x<0,\qquad y’>0 \text{ при } x>0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ достигается минимум:

$$y_{\min}=y(0)=-\frac{2}{4}=-\frac12.$$

Горизонтальная асимптота:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left(-\frac{2}{x^2+4}\right)=0,\qquad y=0.$$

Для построения можно взять точки:

$$x=1,\ y=-\frac25;\qquad x=2,\ y=-\frac14.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0;-\frac12\right)$$ и стремится к оси $$Ox$$ при $$x\to\pm\infty.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty),$$ максимум $$y_{\max}=1$$ при $$x=0,$$ асимптота $$y=0.$$

б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty),$$ минимум $$y_{\min}=-\frac12$$ при $$x=0,$$ асимптота $$y=0.$$