Упр.30.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что заданная функция возрастает:
а) $$y=\cos x+2x$$;
б) $$y=x^5+3x^3+7x+4$$;
в) $$y=\sin x+x^3+x$$;
г) $$y=x^5+4x^3+8x-8$$.
а) Найдём производную:
$$y’=(\cos x+2x)’=-\sin x+2.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$1\le -\sin x+2\le 3.$$
Следовательно, $$y’>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит, функция $$y=\cos x+2x$$ возрастает на всей числовой прямой.
б) Найдём производную:
$$y’=(x^5+3x^3+7x+4)’=5x^4+9x^2+7.$$
Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0,$$ то
$$5x^4+9x^2+7>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция $$y=x^5+3x^3+7x+4$$ возрастает на всей числовой прямой.
в) Найдём производную:
$$y’=(\sin x+x^3+x)’=\cos x+3x^2+1.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$\cos x+1\ge 0,$$ а также $$3x^2\ge 0.$$ Поэтому
$$\cos x+3x^2+1\ge 0.$$
Причём равенство невозможно одновременно для всех слагаемых, значит, $$y’>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция $$y=\sin x+x^3+x$$ возрастает на всей числовой прямой.
г) Найдём производную:
$$y’=(x^5+4x^3+8x-8)’=5x^4+12x^2+8.$$
Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0,$$ то
$$5x^4+12x^2+8>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция $$y=x^5+4x^3+8x-8$$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ
Во всех пунктах функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
