Упр.30.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Изобразите эскиз графика функции $$y=f(x)$$, если промежутки постоянства знака производной $$f'(x)$$ представлены на заданной схеме: а) рис. 60; б) рис. 61; б) рис. 62; г) рис. 63.

По знакам производной определяем промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.

1. а) $$f'(x)>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>3$$, $$f'(x)<0$$ при $$-4<x<3$$.

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4)$$ и $$(3;+\infty)$$, убывает на $$(-4;3)$$. В точке $$x=-4$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.

2. б) $$f'(x)>0$$ при $$0<x<2$$ и $$x>5$$, $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$2<x<5$$.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;5)$$, возрастает на $$(0;2)$$ и $$(5;+\infty)$$. Точки $$x=0$$ и $$x=5$$ — минимумы, $$x=2$$ — максимум.

3. в) $$f'(x)>0$$ при $$x<-2$$ и $$4<x<7$$, $$f'(x)<0$$ при $$-2<x<4$$ и $$x>7$$.

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и $$(4;7)$$, убывает на $$(-2;4)$$ и $$(7;+\infty)$$. В точках $$x=-2$$ и $$x=7$$ — максимумы, в точке $$x=4$$ — минимум.

4. г) $$f'(x)>0$$ при $$x<-1$$, $$-1<x<0$$ и $$1<x<2$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<1$$ и $$x>2$$. В точке $$x=-1$$ производная не существует, но знак не меняется.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$, $$(-1;0)$$ и $$(1;2)$$, убывает на $$(0;1)$$ и $$(2;+\infty)$$. В точках $$x=0$$ и $$x=2$$ — максимумы, в точке $$x=1$$ — минимум.

Ответ: эскизы графиков должны иметь указанные промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума: а) максимум при $$x=-4$$, минимум при $$x=3$$; б) минимумы при $$x=0$$ и $$x=5$$, максимум при $$x=2$$; в) максимумы при $$x=-2$$ и $$x=7$$, минимум при $$x=4$$; г) максимумы при $$x=0$$ и $$x=2$$, минимум при $$x=1$$.