Упр.30.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=|x^3-3x|$$; б) $$y=|x-x^3|$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=|x^3-3x|.$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно и где отрицательно:

$$x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).$$

Отсюда

$$x^3-3x\ge 0 \quad \text{при} \quad x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty),$$

$$x^3-3x<0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;\sqrt3).$$

Тогда

$$y= \begin{cases} x^3-3x, & x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty),\\ -(x^3-3x)=3x-x^3, & x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;\sqrt3). \end{cases}$$

1) При $$x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty)$$ имеем

$$y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$

Значит, $$y’>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1,$$ а $$y'<0$$ при $$-1<x<1.$$

С учётом промежутков, где задана эта ветвь, получаем:

$$y$$ возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$

$$y$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0].$$

2) При $$x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(0;\sqrt3)$$ имеем

$$y=3x-x^3,\qquad y’=3-3x^2=3(1-x^2).$$

Значит, $$y’>0$$ при $$-1<x<1,$$ а $$y'<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1.$$

С учётом области этой ветви:

$$y$$ возрастает на $$[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$

$$y$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[1;\sqrt3).$$

Итак, функция возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$

убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3).$$

Точки экстремума:

$$x=-\sqrt3,\;x=0,\;x=\sqrt3$$ — точки минимума;

$$x=-1,\;x=1$$ — точки максимума.

б) Рассмотрим функцию $$y=|x-x^3|.$$

Найдём знак выражения под модулем:

$$x-x^3=x(1-x^2)=x(1-x)(1+x).$$

Тогда

$$x-x^3\ge 0 \quad \text{при} \quad x\in[-1;0]\cup[0;1],$$

$$x-x^3<0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} x-x^3, & x\in[-1;1],\\ x^3-x, & x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty). \end{cases}$$

1) При $$x\in[-1;1]$$

$$y’=1-3x^2.$$

Отсюда $$y’>0$$ при $$-\dfrac{\sqrt3}{3}<x<\dfrac{\sqrt3}{3},$$ а $$y'<0$$ при $$x<-\dfrac{\sqrt3}{3}$$ и $$x>\dfrac{\sqrt3}{3}.$$

Значит, на этом промежутке функция возрастает на $$\left[-\dfrac{\sqrt3}{3};\dfrac{\sqrt3}{3}\right]$$ и убывает на $$[-1;-\dfrac{\sqrt3}{3}]\cup[\dfrac{\sqrt3}{3};1].$$

2) При $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

$$y’=3x^2-1.$$

Здесь $$y’>0$$ при $$x<-\dfrac{\sqrt3}{3}$$ и $$x>\dfrac{\sqrt3}{3}.$$

С учётом области этой ветви получаем:

$$y$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$

$$y$$ убывает на $$[-1;0]\cup[0;1].$$

Итак, функция возрастает на $$[-1;-\dfrac{\sqrt3}{3}]\cup[0;\dfrac{\sqrt3}{3}]\cup[1;+\infty),$$

убывает на $$(-\infty;-1]\cup[-\dfrac{\sqrt3}{3};0]\cup[\dfrac{\sqrt3}{3};1].$$

Точки экстремума:

$$x=-1,\;x=0,\;x=1$$ — точки минимума;

$$x=-\dfrac{\sqrt3}{3},\;x=\dfrac{\sqrt3}{3}$$ — точки максимума.

Ответ: а) возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3);$$ точки минимума: $$x=-\sqrt3,0,\sqrt3,$$ точки максимума: $$x=-1,1.$$ б) возрастает на $$[-1;-\dfrac{\sqrt3}{3}]\cup[0;\dfrac{\sqrt3}{3}]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[-\dfrac{\sqrt3}{3};0]\cup[\dfrac{\sqrt3}{3};1];$$ точки минимума: $$x=-1,0,1,$$ точки максимума: $$x=-\dfrac{\sqrt3}{3},\dfrac{\sqrt3}{3}.$$