Упр.30.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=|x-3|-2$$; б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$; в) $$y=|(x-2)(x+3)|$$; г) $$y=(|x|-2)|x|$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=|x-3|-2.$$

Если $$x\ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ значит

$$y=x-3-2=x-5,$$

и функция возрастает, так как $$y’=1>0.$$

Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=-(x-3),$$ значит

$$y=-(x-3)-2=-x+1,$$

и функция убывает, так как $$y’=-1<0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$ В точке $$x=3$$ достигается минимум:

$$y_{\min}=|3-3|-2=-2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\left|\frac1x-1\right|.$$ Область определения: $$x\ne 0.$$

Выражение под модулем неотрицательно, если

$$\frac1x-1\ge 0 \iff \frac{1-x}{x}\ge 0 \iff 0<x\le 1.$$

Тогда

$$y=\frac1x-1,$$

и на этом промежутке

$$y’=-\frac1{x^2}<0,$$

то есть функция убывает на $$(0;1].$$

Если $$x<0$$ или $$x>1,$$ то

$$y=1-\frac1x,$$

и

$$y’=\frac1{x^2}>0,$$

значит функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty).$$

В точке $$x=1$$ достигается минимум:

$$y_{\min}=\left|\frac11-1\right|=0.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=\left|(x-2)(x+3)\right|.$$

Произведение $$(x-2)(x+3)\ge 0$$ при $$x\le -3$$ или $$x\ge 2.$$ Тогда

$$y=(x-2)(x+3)=x^2+x-6,$$

и

$$y’=2x+1.$$

На этих промежутках функция возрастает при $$2x+1\ge 0,$$ то есть при $$x\ge -\frac12.$$ Поэтому на $$[2;+\infty)$$ она возрастает, а на $$(-\infty;-3]$$ убывает.

Если $$-3\le x\le 2,$$ то $$(x-2)(x+3)\le 0,$$ и

$$y=-(x-2)(x+3)=-x^2-x+6,$$

$$y’=-2x-1.$$

Здесь функция возрастает при $$-2x-1>0,$$ то есть при $$x<-\frac12,$$ и убывает при $$x>-\frac12.$$

Итак, функция возрастает на $$[-3;-\tfrac12]$$ и $$[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[-\tfrac12;2].$$

Точки минимума: $$x=-3$$ и $$x=2,$$ точки максимума: $$x=-\frac12.$$

г) Рассмотрим функцию $$y=(|x|-2)|x|.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$y=(x-2)x=x^2-2x,$$

$$y’=2x-2.$$

На этом промежутке функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x>1.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=(-x-2)(-x)=x^2+2x,$$

$$y’=2x+2.$$

Здесь функция убывает при $$x<-1$$ и возрастает при $$x>-1.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1],$$ возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$

Точки минимума: $$x=-1$$ и $$x=1,$$ точка максимума: $$x=0.$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$; минимум при $$x=3$$, $$y_{\min}=-2$$.

б) убывает на $$(0;1]$$, возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$; минимум при $$x=1$$, $$y_{\min}=0$$.

в) убывает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[-\tfrac12;2]$$, возрастает на $$[-3;-\tfrac12]$$ и $$[2;+\infty)$$; минимумы при $$x=-3$$ и $$x=2$$, максимум при $$x=-\tfrac12$$.

г) убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$, возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty)$$; минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1$$, максимум при $$x=0$$.