Упр.30.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$y=x-2\cos x,\quad x\in[-\pi;\pi]$$;

б) $$y=2\sin x-x,\quad x\in[\pi;3\pi]$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=x-2\cos x,\quad x\in[-\pi;\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=(x-2\cos x)’=1+2\sin x.$$

Критические точки получаем из уравнения

$$1+2\sin x=0,$$

то есть

$$\sin x=-\frac12.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ это даёт

$$x=-\frac{5\pi}{6},\quad x=-\frac{\pi}{6}.$$

Исследуем знак производной:

при $$x\in\left[-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right)$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
при $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
при $$x\in\left(-\frac{\pi}{6};\pi\right]$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает.

Значит, в точке $$x=-\frac{5\pi}{6}$$ — точка максимума, а в точке $$x=-\frac{\pi}{6}$$ — точка минимума.

б) Рассмотрим функцию $$y=2\sin x-x,\quad x\in[\pi;3\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=(2\sin x-x)’=2\cos x-1.$$

Критические точки получаем из уравнения

$$2\cos x-1=0,$$

то есть

$$\cos x=\frac12.$$

На отрезке $$[\pi;3\pi]$$ это даёт

$$x=\frac{5\pi}{3},\quad x=\frac{7\pi}{3}.$$

Исследуем знак производной:

при $$x\in\left[\pi;\frac{5\pi}{3}\right)$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
при $$x\in\left(\frac{5\pi}{3};\frac{7\pi}{3}\right)$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
при $$x\in\left(\frac{7\pi}{3};3\pi\right]$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает.

Следовательно, в точке $$x=\frac{5\pi}{3}$$ — точка минимума, а в точке $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — точка максимума.