Упр.30.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) Рассмотрим функцию $$y=x-2\sqrt{x-2}.$$
Найдём область определения:
$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$
Вычислим производную:
$$y’ = 1 — 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 1-\frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{x-2}}.$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$\sqrt{x-2}-1=0,$$
$$\sqrt{x-2}=1,$$
$$x-2=1,$$
$$x=3.$$
Производная не существует при $$x=2.$$
Исследуем знак производной:
- при $$2<x<3$$ имеем $$\sqrt{x-2}-1<0,$$ значит, функция убывает;
- при $$x>3$$ имеем $$\sqrt{x-2}-1>0,$$ значит, функция возрастает.
Следовательно, при $$x=3$$ функция имеет минимум.
б) Рассмотрим функцию $$y=4\sqrt{2x-1}-x.$$
Найдём область определения:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Вычислим производную:
$$y’ = 4\cdot \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} — 1 = \frac{4}{\sqrt{2x-1}}-1 = \frac{4-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}.$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$4-\sqrt{2x-1}=0,$$
$$\sqrt{2x-1}=4,$$
$$2x-1=16,$$
$$x=\frac{17}{2}.$$
Производная не существует при $$x=\frac12.$$
Исследуем знак производной:
- при $$\frac12<x<\frac{17}{2}$$ имеем $$4-\sqrt{2x-1}>0,$$ значит, функция возрастает;
- при $$x>\frac{17}{2}$$ имеем $$4-\sqrt{2x-1}<0,$$ значит, функция убывает.
Следовательно, при $$x=\frac{17}{2}$$ функция имеет максимум, а при $$x=\frac12$$ — минимум.
Ответ
а) $$x=3$$ — точка минимума.
б) $$x=\frac12$$ — точка минимума, $$x=\frac{17}{2}$$ — точка максимума.
