Упр.30.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=x+\frac{4}{x}$$; б) $$y=\frac{x^2+9}{x}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{4}{x}, \quad x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 — \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Критические точки: $$y’=0 \iff x=\pm 2.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-4.$$

Получаем:

• при $$x<-2$$ функция возрастает;
• при $$-2<x<0$$ функция убывает;
• при $$0<x<2$$ функция убывает;
• при $$x>2$$ функция возрастает.

Значит, при $$x=-2$$ — точка максимума, а при $$x=2$$ — точка минимума.

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2+9}{x}=x+\frac{9}{x}, \quad x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 — \frac{9}{x^2} = \frac{x^2-9}{x^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$

Критические точки: $$y’=0 \iff x=\pm 3.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-9.$$

Получаем:

• при $$x<-3$$ функция возрастает;
• при $$-3<x<0$$ функция убывает;
• при $$0<x<3$$ функция убывает;
• при $$x>3$$ функция возрастает.

Следовательно, при $$x=-3$$ — точка максимума, а при $$x=3$$ — точка минимума.

Ответ

а) $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

б) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.