Упр.30.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные и исследуем их знак.

а)

$$y=-5x^5+3x^3$$

$$y’=-25x^4+9x^2=x^2(9-25x^2)=x^2(3-5x)(3+5x)$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=0,\; x=\pm \frac35$$

Так как множитель $$x^2$$ не меняет знак, то знак производной определяется выражением $$9-25x^2$$:

$$y’>0 \text{ при } -\frac35<x<\frac35,\qquad y'<0 \text{ при } x<-\frac35 \text{ и } x>\frac35.$$

Следовательно, в точке $$x=-\frac35$$ функция меняет убывание на возрастание, а в точке $$x=\frac35$$ — возрастание на убывание.

Ответ: $$x=-\frac35$$ — точка минимума, $$x=\frac35$$ — точка максимума.

б)

$$y=x^4-4x^3-8x^2+13$$

$$y’=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x+1)(x-4)$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-1,\;0,\;4$$

Исследуем знак производной:

$$y'<0 \text{ на } (-\infty,-1),\quad y’>0 \text{ на } (-1,0),\quad y'<0 \text{ на } (0,4),\quad y’>0 \text{ на } (4,+\infty).$$

Значит, в точках $$x=-1$$ и $$x=4$$ — минимумы, а в точке $$x=0$$ — максимум.

Ответ: $$x=-1,\;4$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

в)

$$y=x^4-50x^2$$

$$y’=4x^3-100x=4x(x^2-25)=4x(x-5)(x+5)$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-5,\;0,\;5$$

Исследуем знак производной:

$$y'<0 \text{ на } (-\infty,-5),\quad y’>0 \text{ на } (-5,0),\quad y'<0 \text{ на } (0,5),\quad y’>0 \text{ на } (5,+\infty).$$

Следовательно, в точках $$x=\pm 5$$ — минимумы, а в точке $$x=0$$ — максимум.

Ответ: $$x=\pm 5$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

г)

$$y=2x^5+5x^4-10x^3+3$$

$$y’=10x^4+20x^3-30x^2=10x^2(x^2+2x-3)=10x^2(x+3)(x-1)$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-3,\;0,\;1$$

Так как $$10x^2\ge 0$$ и знак производной при $$x\ne 0$$ определяется выражением $$(x+3)(x-1)$$, получаем:

$$y’>0 \text{ на } (-\infty,-3),\quad y'<0 \text{ на } (-3,1),\quad y’>0 \text{ на } (1,+\infty).$$

В точке $$x=-3$$ функция меняет возрастание на убывание, а в точке $$x=1$$ — убывание на возрастание. В точке $$x=0$$ знак производной не меняется, поэтому экстремума нет.

Ответ: $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.