Упр.30.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$y=2x+\frac{8}{x}$$
• б) $$y=\sqrt{2x-1}$$
• в) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$
• г) $$y=x-3^4$$

а) $$y=2x+\frac{8}{x}$$

Найдём производную:

$$y’ = 2 — \frac{8}{x^2} = \frac{2x^2-8}{x^2} = \frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Критические точки: $$x=\pm 2,$$ при этом $$x=0$$ не входит в область определения функции.

Знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(0;2).$$

Следовательно, в точке $$x=-2$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

б) $$y=\sqrt{2x-1}$$

Область определения:

$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$

Производная:

$$y’=\left(\sqrt{2x-1}\right)’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$

На области определения при $$x>\frac12$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right).$$

В точке $$x=\frac12$$ функция принимает наименьшее значение, поэтому это точка минимума.

в) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac15-\frac{5}{x^2}=\frac{x^2-25}{5x^2}=\frac{(x-5)(x+5)}{5x^2}.$$

Критические точки: $$x=\pm 5,$$ при этом $$x=0$$ не входит в область определения.

Знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-5)\cup(5;+\infty),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(-5;0)\cup(0;5).$$

Значит, $$x=-5$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума.

г) $$y=x-3^4$$

Так как $$3^4=81,$$ то $$y=x-81.$$

Это линейная функция с производной

$$y’=1.$$

Производная положительна при всех $$x\in\mathbb{R},$$ значит функция возрастает на всей области определения и точек экстремума не имеет.

Ответ

а) $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума;
б) $$x=\frac12$$ — точка минимума;
в) $$x=-5$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума;
г) точек экстремума нет.