Упр.30.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: а) $$y=7+12x-x^3$$; б) $$y=8+2x^2-x^4$$; в) $$y=3x^3+2x^2-7$$; г) $$y=x^4-8x^2$$.
а) $$y=7+12x-x^3$$
Найдём производную:
$$y’ = 12-3x^2 = -3(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;2) & 2 & (2;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \\ \end{array}$$
Значит, при $$x=-2$$ функция меняет убывание на возрастание, а при $$x=2$$ — возрастание на убывание.
Точка минимума: $$x=-2$$.
Точка максимума: $$x=2$$.
б) $$y=8+2x^2-x^4$$
Найдём производную:
$$y’ = 4x-4x^3 = 4x(1-x^2)=4x(1-x)(1+x).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + & 0 & — \\ \end{array}$$
Следовательно, при $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки максимума, а при $$x=0$$ — точка минимума.
Точки максимума: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
Точка минимума: $$x=0$$.
в) $$y=3x^3+2x^2-7$$
Найдём производную:
$$y’ = 9x^2+4x = x(9x+4).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=-\frac{4}{9}$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-\frac{4}{9}) & -\frac{4}{9} & (-\frac{4}{9};0) & 0 & (0;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$
Значит, при $$x=-\frac{4}{9}$$ — точка максимума, при $$x=0$$ — точка минимума.
Точка максимума: $$x=-\frac{4}{9}$$.
Точка минимума: $$x=0$$.
г) $$y=x^4-8x^2$$
Найдём производную:
$$y’ = 4x^3-16x = 4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2$$.
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;0) & 0 & (0;2) & 2 & (2;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$
Следовательно, при $$x=-2$$ и $$x=2$$ — точки минимума, а при $$x=0$$ — точка максимума.
Точки минимума: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Точка максимума: $$x=0$$.
Ответ: а) $$x=-2$$ — минимум, $$x=2$$ — максимум; б) $$x=-1$$ и $$x=1$$ — максимумы, $$x=0$$ — минимум; в) $$x=-\frac{4}{9}$$ — максимум, $$x=0$$ — минимум; г) $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, $$x=0$$ — максимум.
