Упр.30.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;
б) функция возрастает при $$x \leq 1$$ и при $$x \geq 5$$ и убывает на промежутке $$[1;5]$$; точка $$x=1$$ является критической, а точка $$x=5$$ — стационарной;
в) функция имеет разрыв в точке $$x=-2$$, максимум в точке $$x=-1$$ и минимум в точке $$x=1$$;
г) функция имеет горизонтальную асимптоту $$y=3$$ при $$x \to \infty$$, одну точку максимума и одну точку минимума.
В каждом пункте достаточно привести пример функции с нужным поведением графика.
Подойдёт, например, ограниченная функция с двумя максимумами и одним минимумом:
$$y=\frac{1}{x^2+1}\sin x$$
Её график колеблется между двумя горизонтальными границами, поэтому функция ограничена, а из-за колебаний имеет несколько точек максимума и одну точку минимума.
Нужна функция, которая возрастает при $$x\le 1$$ и $$x>5$$, убывает на $$[1;5]$$, причём $$x=1$$ — критическая точка, а $$x=5$$ — стационарная. Подойдёт, например, функция
$$y=\begin{cases} x+1, & x\le 1,\\ -(x-1)^2+2, & 1<x\le 5,\\ (x-5)^3-4, & x>5. \end{cases}$$
На промежутке $$x\le 1$$ она возрастает, затем убывает на $$[1;5]$$, а при $$x>5$$ снова возрастает. В точке $$x=1$$ производная не обязана существовать, поэтому это критическая точка, а в точке $$x=5$$ производная равна нулю, значит, точка стационарная.
Пример функции с разрывом в точке $$x=-2$$, максимумом в точке $$x=-1$$ и минимумом в точке $$x=1$$:
$$y=\frac{(x+1)^2(x-1)^2}{x+2}$$
В точке $$x=-2$$ функция не определена, значит, там есть разрыв. При этом график можно изобразить так, чтобы в точке $$x=-1$$ был максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.
Подойдёт, например, функция
$$y=3+\frac{1}{x^2+1}\sin x$$
Так как $$\frac{1}{x^2+1}\sin x\to 0$$ при $$x\to\infty$$, то
$$y\to 3.$$
Значит, горизонтальная асимптота — $$y=3$$. Из-за колебаний функция имеет и точку максимума, и точку минимума.
Ответ: можно построить, например, графики функций, указанных в пунктах 1–4.
