Упр.30.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $$y=x^3-3ax^2+27x-5$$;

б) $$y=x^3-3ax^2+75x-10$$?

а) Найдём производную:

$$y’=(x^3-3ax^2+27x-5)’=3x^2-6ax+27.$$

Чтобы функция имела одну стационарную точку, уравнение

$$3x^2-6ax+27=0$$

должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 27=36a^2-324=36(a^2-9).$$

Тогда

$$36(a^2-9)=0,$$

$$a^2=9,$$

$$a=\pm 3.$$

Ответ: $$a=\pm 3.$$

б) Найдём производную:

$$y’=(x^3-3ax^2+75x-10)’=3x^2-6ax+75.$$

Для одной стационарной точки нужно, чтобы уравнение

$$3x^2-6ax+75=0$$

имело единственный корень, то есть

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 75=36a^2-900=36(a^2-25)=0.$$

Отсюда

$$a^2=25,$$

$$a=\pm 5.$$

Ответ: $$a=\pm 5.$$