Упр.30.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=2x^3-3x^2+7$$ возрастает в интервале $$(a-1;\ a+1)$$?
  б) При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=-x^3+3x+5$$ убывает в интервале $$(a;\ a+\frac{1}{2})$$?

а) Найдём производную функции:

$$y’ = (2x^3 — 3x^2 + 7)’ = 6x^2 — 6x = 6x(x-1).$$

Функция возрастает там, где $$y’ \ge 0$$, то есть при $$x \le 0$$ или $$x \ge 1$$.

Чтобы функция возрастала на всём интервале $$\left(a-1;\,a+1\right),$$ этот интервал должен целиком лежать либо в области $$x \le 0,$$ либо в области $$x \ge 1.$$

Тогда получаем:

$$a+1 \le 0 \quad \text{или} \quad a-1 \ge 1.$$

Отсюда

$$a \le -1 \quad \text{или} \quad a \ge 2.$$

Ответ: $$a \in (-\infty;\,-1] \cup [2;\,+\infty).$$

б) Найдём производную функции:

$$y’ = (-x^3 + 3x + 5)’ = -3x^2 + 3 = 3(1-x^2).$$

Функция убывает там, где $$y’ \le 0,$$ то есть при $$x \le -1$$ или $$x \ge 1.$$

Чтобы функция убывала на всём интервале $$\left(a;\,a+\frac12\right),$$ этот интервал должен целиком лежать либо в области $$x \le -1,$$ либо в области $$x \ge 1.$$

Тогда:

$$a+\frac12 \le -1 \quad \text{или} \quad a \ge 1.$$

Отсюда

$$a \le -\frac32 \quad \text{или} \quad a \ge 1.$$

Ответ: $$a \in (-\infty;\,-1{,}5] \cup [1;\,+\infty).$$