Упр.30.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$b$$ функция убывает на всей области определения:
а) $$y=7+bx-x^2-x^3$$;
б) $$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$;
в) $$y=x^3+bx^2+3x+21$$;
г) $$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$?

Подробный ответ

а) $$y=7+bx-x^2-x^3$$

Найдём производную:

$$y'(x)=b-2x-3x^2.$$

Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы

$$y'(x)\le 0$$

при всех $$x$$. То есть

$$b-2x-3x^2\le 0 \quad \text{для всех } x.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$3x^2+2x-b\ge 0.$$

Он должен быть неотрицателен при всех $$x$$, значит, его дискриминант не должен быть положительным:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-b)=4+12b=4(1+3b)\le 0.$$

Отсюда

$$1+3b\le 0,\qquad b\le -\frac13.$$

б) $$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$

Область определения: $$x\ge -3.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}+b=b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}.$$

Для убывания на всей области определения нужно

$$b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\le 0 \quad \text{при всех } x\ge -3.$$

Так как $$\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}>0$$, то это возможно только при

$$b\le 0.$$

в) $$y=x^3+bx^2+3x+21$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2+2bx+3.$$

Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы

$$3x^2+2bx+3\le 0$$

при всех $$x$$. Но старший коэффициент равен $$3>0$$, значит, при больших по модулю $$x$$ выражение $$3x^2+2bx+3$$ становится положительным. Следовательно, такое значение параметра $$b$$ не существует.

г) $$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$

Область определения: $$x\le 1.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.$$

Для убывания на всей области определения нужно

$$-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\le 0 \quad \text{при всех } x\le 1.$$

Так как $$\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}>0$$, то это выполняется при

$$b\ge 0.$$