Упр.30.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$ax-\cos x$$; б) $$y=2\sin 2x-ax$$?

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы её производная была неотрицательной при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

а)

$$y=ax-\cos x$$

Найдём производную:

$$y'(x)=a+\sin x.$$

Требуем:

$$a+\sin x \ge 0 \quad \text{при всех } x.$$

Так как $$\sin x \in [-1;1],$$ то наименьшее значение выражения $$a+\sin x$$ равно $$a-1$$. Значит, должно выполняться

$$a-1 \ge 0,$$

откуда

$$a \ge 1.$$

б)

$$y=2\sin 2x-ax$$

Найдём производную:

$$y'(x)=4\cos 2x-a.$$

Требуем:

$$4\cos 2x-a \ge 0 \quad \text{при всех } x.$$

Так как $$\cos 2x \in [-1;1],$$ то наибольшее значение выражения $$4\cos 2x-a$$ равно $$4-a$$, а наименьшее — $$-4-a$$. Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x,$$ достаточно и необходимо, чтобы

$$4\cos 2x-a \ge 0 \quad \text{для всех } x \iff -4-a \ge 0,$$

то есть

$$a \le -4.$$

Ответ: а) $$a \in [1;+\infty);$$ б) $$a \in (-\infty;-4].$$