Упр.30.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ функция возрастает на всей числовой прямой:
а) $$y=x^3+ax$$;
б) $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$?

Подробный ответ

Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

а) $$y=x^3+ax$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2+a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$3x^2+a \ge 0$$

при всех $$x$$. Так как $$3x^2 \ge 0$$ для любого $$x$$, минимальное значение выражения $$3x^2+a$$ равно $$a$$. Значит, должно выполняться

$$a \ge 0.$$

б) $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$

Найдём производную:

$$y'(x)=x^2-2ax+5.$$

Для возрастания на всей числовой прямой нужно, чтобы

$$x^2-2ax+5 \ge 0$$

при всех $$x$$. Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, поэтому он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1 \cdot 5=4a^2-20=4(a^2-5)\le 0.$$

Отсюда

$$a^2-5\le 0,$$

$$a^2\le 5,$$

$$-\sqrt5 \le a \le \sqrt5.$$