Упр.30.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=7\cos x-5\sin 3x-22x$$ убывает на $$(-\infty;+\infty)$$;

б) $$y=3\cos 7x-8\sin x/2-25x+1$$ убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

Докажем, что производная каждой функции не положительна при всех $$x$$.

1. $$y=7\cos x-5\sin 3x-22x$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=7(\cos x)’-5(\sin 3x)’-(22x)’ \\\\ y'(x)=7(-\sin x)-5\cdot 3\cos 3x-22 \\\\ y'(x)=-7\sin x-15\cos 3x-22$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1$$ и $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то

   $$-7\le 7\sin x\le 7,\qquad -15\le 15\cos 3x\le 15.$$

   Следовательно,

   $$-22\le 7\sin x+15\cos 3x+22$$

   значит,

   $$y'(x)\le 0.$$

   Итак, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

2. $$y=3\cos 7x-8\sin \frac{x}{2}-25x+1$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=3\cdot 7(-\sin 7x)-8\cdot \frac12 \cos \frac{x}{2}+(-25x+1)’ \\\\ y'(x)=-21\sin 7x-4\cos \frac{x}{2}-25$$

   Так как $$-1\le \sin 7x\le 1$$ и $$-1\le \cos \frac{x}{2}\le 1,$$ то

   $$-21\le 21\sin 7x\le 21,\qquad -4\le 4\cos \frac{x}{2}\le 4.$$

   Следовательно,

   $$-25\le 21\sin 7x+4\cos \frac{x}{2}+25$$

   значит,

   $$y'(x)\le 0.$$

   Итак, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;+\infty)$$; б) убывает на $$(-\infty;+\infty).$$