Упр.30.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Докажем, что каждая из данных функций убывает на всей числовой прямой, то есть при всех $$x \in \mathbb{R}$$ их производная не положительна.
а)
$$y=-x^3-5x+3$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-(x^3)’+(-5x+3)’=-3x^2-5.$$
Так как $$x^2 \ge 0,$$ то $$-3x^2 \le 0,$$ значит
$$y'(x)=-3x^2-5<0$$
при всех $$x \in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$
б)
$$y=-2x^5-7x^3-x+8$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-2(x^5)’-7(x^3)’+(-x+8)’=-10x^4-21x^2-1.$$
Так как $$x^4 \ge 0$$ и $$x^2 \ge 0,$$ то
$$-10x^4-21x^2-1<0$$
при всех $$x \in \mathbb{R}.$$ Значит, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$
в)
$$y=-x^3+3x^2-6x+1$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-(x^3)’+3(x^2)’+(-6x+1)’=-3x^2+6x-6.$$
Рассмотрим знак производной:
$$-3x^2+6x-6 \le 0 \iff x^2-2x+2 \ge 0.$$
Для квадратного трёхчлена
$$D=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 2=4-8=-4<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-2x+2>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}.$$ Следовательно,
$$y'(x)<0$$
при всех $$x \in \mathbb{R},$$ и функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$
г)
$$y=-4x^3+4x^2-2x+9$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-4(x^3)’+4(x^2)’+(-2x+9)’=-12x^2+8x-2.$$
Рассмотрим знак производной:
$$-12x^2+8x-2 \le 0 \iff 6x^2-4x+1 \ge 0.$$
Вычислим дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 6 \cdot 1=16-24=-8<0.$$
Так как $$a=6>0,$$ то $$6x^2-4x+1>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}.$$ Значит,
$$y'(x)<0$$
при всех $$x \in \mathbb{R},$$ следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$
Ответ: все четыре функции убывают на $$(-\infty;+\infty).$$
