Упр.30.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция: а) $$y=x^5+3x-6$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$; в) $$y=x^7+7x^3+2x-42$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$y=21x-\frac{1}{x^5}$$ возрастает на $$(0;+\infty)$$.

Докажем возрастание каждой функции, исследуя знак производной.

1. $$y=x^5+3x-6$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=(x^5)’ + (3x-6)’ = 5x^4+3.$$

   Так как $$x^4 \ge 0$$ при любом $$x$$, то

   $$5x^4+3>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$

2. $$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$ Рассмотрим промежуток $$(-\infty;0).$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=(15)’ — 2(x^{-1})’ — (x^{-3})’ = 0 — 2(-x^{-2}) — (-3x^{-4}) = \frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}.$$

   Так как $$x^2>0$$ и $$x^4>0$$ при $$x\ne 0$$, то

   $$\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}>0.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0).$$

3. $$y=x^7+7x^3+2x-42$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=(x^7)’ + 7(x^3)’ + (2x-42)’ = 7x^6+21x^2+2.$$

   Так как $$x^6\ge 0$$ и $$x^2\ge 0$$, то

   $$7x^6+21x^2+2>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$

4. $$y=21x-\frac{1}{x^5}$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$ Рассмотрим промежуток $$\left(0;+\infty\right).$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=(21x)’-(x^{-5})’ = 21-(-5x^{-6}) = 21+\frac{5}{x^6}.$$

   Так как при $$x>0$$ имеем $$x^6>0$$, то

   $$21+\frac{5}{x^6}>0.$$

   Значит, функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$

Ответ: а) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; б) на $$(-\infty;0)$$; в) на $$(-\infty;+\infty)$$; г) на $$\left(0;+\infty\right).$$