Упр.30.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=\sqrt{3x-1}$$
Найдём область определения:
$$3x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac13.$$
Производная:
$$y’=\left(\sqrt{3x-1}\right)’=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}.$$
На области определения $$y’>0$$, значит функция возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$
б) $$y=\sqrt{1-x}+2x$$
Найдём область определения:
$$1-x\ge 0,\qquad x\le 1.$$
Производная:
$$y’=\left(\sqrt{1-x}+2x\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+2=\frac{4\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}}.$$
Критическая точка:
$$4\sqrt{1-x}-1=0,$$
$$4\sqrt{1-x}=1,$$
$$\sqrt{1-x}=\frac14,$$
$$1-x=\frac1{16},\qquad x=\frac{15}{16}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x<1,$$ то знак производной определяется числителем. Поэтому функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right].$$
в) $$y=\sqrt{1-2x}$$
Найдём область определения:
$$1-2x\ge 0,\qquad x\le \frac12.$$
Производная:
$$y’=\left(\sqrt{1-2x}\right)’=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}.$$
На области определения $$y'<0,$$ значит функция убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right].$$
г) $$y=\sqrt{2x-1}-x$$
Найдём область определения:
$$2x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac12.$$
Производная:
$$y’=\left(\sqrt{2x-1}-x\right)’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1=\frac{1-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}.$$
Критическая точка:
$$1-\sqrt{2x-1}=0,$$
$$\sqrt{2x-1}=1,$$
$$2x-1=1,\qquad x=1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right)$$;
б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right]$$;
в) убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right]$$;
г) возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$, убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
