Упр.30.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=\frac{1}{x+3}$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{1}{x+3}\right)’=-\frac{1}{(x+3)^2}$$

Так как $$\frac{1}{(x+3)^2}>0$$ при всех $$x\neq -3$$, то

$$y'<0$$

Следовательно, функция убывает на промежутках $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty)$$.

б) $$y=\frac{3x-1}{3x+1}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$y’=\frac{(3x-1)'(3x+1)-(3x-1)(3x+1)’}{(3x+1)^2}$$

$$y’=\frac{3(3x+1)-3(3x-1)}{(3x+1)^2}=\frac{6}{(3x+1)^2}$$

При $$x\neq -\frac13$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\frac13)$$ и $$(-\frac13;+\infty)$$.

в) $$y=\frac{2}{x}+1$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{2}{x}+1\right)’=-\frac{2}{x^2}$$

При $$x\neq 0$$ производная отрицательна, то есть $$y'<0$$.

Следовательно, функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

г) $$y=\frac{1-2x}{3+2x}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(1-2x)'(3+2x)-(1-2x)(3+2x)’}{(3+2x)^2}$$

$$y’=\frac{-2(3+2x)-2(1-2x)}{(3+2x)^2}=\frac{-8}{(3+2x)^2}$$

При $$x\neq -\frac32$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает на промежутках $$(-\infty;-\frac32)$$ и $$(-\frac32;+\infty)$$.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;-\frac13)$$ и $$(-\frac13;+\infty)$$;
в) убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
г) убывает на $$(-\infty;-\frac32)$$ и $$(-\frac32;+\infty)$$.