Упр.30.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию на монотонность:

а) $$y=x^4-2x^2-3$$; б) $$y=-x^5-x$$; в) $$y=-3x^4+4x^3-15$$; г) $$y=5x^5-1$$.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

а)

$$y=x^4-2x^2-3$$

$$y’=(x^4-2x^2-3)’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Знак производной:

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$ и возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$.

б)

$$y=-x^5-x$$

$$y’=(-x^5-x)’=-5x^4-1$$

Так как $$-5x^4-1<0$$ при всех $$x$$, функция убывает на всей числовой прямой.

в)

$$y=-3x^4+4x^3-15$$

$$y’=(-3x^4+4x^3-15)’=-12x^3+12x^2=12x^2(1-x)$$

Критические точки: $$x=0,\;1.$$

Так как $$12x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$1-x$$:

• при $$x<1$$ имеем $$y’>0$$;
• при $$x>1$$ имеем $$y'<0$$.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.

г)

$$y=5x^5-1$$

$$y’=(5x^5-1)’=25x^4$$

Поскольку $$25x^4\ge 0$$ при всех $$x$$, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$, возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$;
б) убывает на всей числовой прямой;
в) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$;
г) возрастает на всей числовой прямой.