Упр.30.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные функций и исследуем их знак.

а)

$$y=x^3+2x$$

$$y’=(x^3+2x)’=3x^2+2$$

Так как $$3x^2+2>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, то функция возрастает на всей числовой прямой.

б)

$$y=60+45x-3x^2-x^3$$

$$y’=(60+45x-3x^2-x^3)’=45-6x-3x^2=-3(x^2+2x-15)=-3(x+5)(x-3)$$

Критические точки: $$x=-5$$ и $$x=3$$.

Исследуем знак производной:

$$y’>0 \iff -3(x+5)(x-3)>0 \iff (x+5)(x-3)<0$$

Отсюда функция возрастает на $$[-5;3]$$, а убывает на $$(-\infty;-5]$$ и $$[3;+\infty)$$.

в)

$$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

$$y’=(2x^3-3x^2-36x+40)’=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2)$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=3$$.

Так как $$6>0$$, знак производной определяется произведением $$(x-3)(x+2)$$:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2]\cup[3;+\infty),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in[-2;3].$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;3]$$.

г)

$$y=-x^5+5x$$

$$y’=(-x^5+5x)’=-5x^4+5=-5(x^4-1)=-5(x^2-1)(x^2+1)=-5(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется множителем $$-5(x-1)(x+1)$$.

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Получаем:

$$y’>0 \text{ при } x\in[-1;1],$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

Значит, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;

б) возрастает на $$[-5;3]$$, убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$;

в) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-2;3]$$;

г) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.