Упр.30.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Определите промежутки монотонности функции:
   а) $$y=x^2-5x+4$$;
   б) $$y=5x^2+15x-1$$;
   в) $$y=-x^2+8x-7$$;
   г) $$y=x^2-x$$.

Найдём производные функций и определим, где они положительны и где отрицательны.

а)

$$y=x^2-5x+4$$

$$y’=(x^2-5x+4)’=2x-5$$

$$2x-5=0,\quad x=\frac52=2{,}5$$

При $$x<2{,}5$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает. При $$x>2{,}5$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает.

Ответ: убывает на $$(-\infty;\,2{,}5]$$, возрастает на $$[2{,}5;\,+\infty)$$.

б)

$$y=5x^2+15x-1$$

$$y’=(5x^2+15x-1)’=10x+15$$

$$10x+15=0,\quad x=-\frac{15}{10}=-1{,}5$$

При $$x<-1{,}5$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает. При $$x>-1{,}5$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает.

Ответ: убывает на $$(-\infty;\,-1{,}5]$$, возрастает на $$[-1{,}5;\,+\infty)$$.

в)

$$y=-x^2+8x-7$$

$$y’=(-x^2+8x-7)’=-2x+8$$

$$-2x+8=0,\quad x=4$$

При $$x<4$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает. При $$x>4$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает.

Ответ: возрастает на $$(-\infty;\,4]$$, убывает на $$[4;\,+\infty)$$.

г)

$$y=x^2-x$$

$$y’=(x^2-x)’=2x-1$$

$$2x-1=0,\quad x=\frac12=0{,}5$$

При $$x<0{,}5$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает. При $$x>0{,}5$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает.

Ответ: убывает на $$(-\infty;\,0{,}5]$$, возрастает на $$[0{,}5;\,+\infty)$$.