Упр.30.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности:
а) $$y=x^5+6x^3-7$$;
б) $$y=\sin x-2x-15$$;
в) $$y=x-\cos x+8$$;
г) $$y=11-5x-x^3$$.
а) Найдём производную:
$$y’=(x^5+6x^3-7)’=5x^4+18x^2=x^2(5x^2+18).$$
Так как $$x^2\ge 0$$ и $$5x^2+18>0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ то $$y’\ge 0$$ на всей числовой прямой. Следовательно, функция монотонно возрастает на $$\mathbb R.$$
б) Найдём производную:
$$y’=(\sin x-2x-15)’=\cos x-2.$$
Поскольку $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$\cos x-2\le 1-2=-1<0.$$
Значит, $$y'<0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ поэтому функция монотонно убывает на всей числовой прямой.
в) Найдём производную:
$$y’=(x-\cos x+8)’=1+\sin x.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$0\le 1+\sin x\le 2.$$
Следовательно, $$y’\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ значит, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.
г) Найдём производную:
$$y’=(11-5x-x^3)’=-5-3x^2.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$-5-3x^2<0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$ Следовательно, функция монотонно убывает на всей числовой прямой.
Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает.
